☛ Déterminer une limite finie - Théorème des gendarmes

Énoncé

Déterminer la limite de la suite \((u_n)\)  définie, pour tout entier naturel  `n` non nul, par \(u_n=\displaystyle\frac{(-1)^n}{n}\) .

Solution

`\forall n \in \mathbb{N}` , on a \(-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1\) .

\(\forall n \in \mathbb{N}^*\) , on a \(-\displaystyle\frac{1}{n} \leqslant \displaystyle\frac{(-1)^n}{n}\leqslant \displaystyle\frac{1}{n}\) .

\(\lim\limits_{n \to +\infty}{-\displaystyle\frac{1}{n}}=0\)  et \(\lim\limits_{n \to +\infty}{\displaystyle\frac{1}{n}}=0\)  donc, d'après le théorème des gendarmes, \(\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=0\) .